Яворский Б. О чем рассказал спектр атома водорода //Квант. - 1991. - № 3. - С. 44-47.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как известно, наибольшей простотой отличается излучение изолированных атомов, например атомов одноатомных газов или паров некоторых металлов. Такие спектры представляют собой набор дискретных спектральных линий разной интенсивности, соответствующих разным длинам волн. Их называют линейчатыми спектрами.

При свечении газов или паров, молекулы которых состоят из нескольких атомор возникают полосатые спектры - совокупности групп спектральных линий. Наконец, излучение, испускаемое нагретыми жидкостями и твердыми телами, обладает непрерывным спектром, который содержит все возможные длины волн.

Кроме спектров испускания, существуют и спектры поглощения. Пропустим, например, сквозь пары натрия свет от источника, дающего непрерывный спектр. Тогда в желтой области непрерывного спектра возникают две темные линии - линии спектра поглощения натрия. Очень важным является свойство обратимости спектральных линий: атомы поглощают свет, содержащий те спектральные линии, которые эти же атомы испускают. Замечательно, что атом каждого химического элемента создает линейчатый спектр с только ему одному присущим сочетанием спектральных линий, расположенных в различных местах шкалы электромагнитных волн - как в ее видимой области, так и в соседних невидимых ультрафиолетовой и инфракрасной областях. Подобно тому как на Земле нет двух людей с одинаковыми лицами, в природе нет двух химических элементов, атомы которых обладали бы одинаковыми спектрами.

Оказывается, линейчатые спектры очень тесно связаны с поведением так называемых валентных электронов атома. Дело в том, что электроны в атоме располагаются вокруг ядра слоями, или оболочками, где электроны имеют различные энергии. Кроме того, в разных оболочках содержится не одинаковое число электронов. В самой далекой от ядра, так называемой внешней энергетической оболочке, у разных атомов имеется различное число электронов - от одного до восьми. Например, у атома натрия только один электрон находится во внешней оболочке, у атома углерода таких «внешних» электронов четыре, у хлора - семь. Химики называют внешние электроны валентными - ими определяется валентность атомов, т. е. их способность вступать в химические соединения с другими атомами. Физики называют внешние электроны атомов оптическими - этими электронами определяются все оптические свойства атомов и в первую очередь их спектры.

Линии Балынера в спектре атома водорода

Атом водорода - простейший из атомов, он состоит всего из одного протона (ядра) и одного электрона. Поэтому линейчатый спектр атома водорода тоже наиболее прост. Именно с изучения этого спектра начала свой путь теоретическая спектроскопия - учение о спектрах атомов, молекул, веществ в различных агрегатных состояниях.

Впервые линии в спектре водорода наблюдал и подробно описал немецкий физик И. Фраунгофер. Это были знаменитые теперь фраунгоферовы темные линии поглощения в солнечном спектре. Они возникают, когда излучение Солнца проходит сквозь газы, окружающие его хромосферу. Вначале Фраунгофер обнаружил всего 4 линии, которые впоследствии стали называться линиями H α , H β , H γ , и H δ .

В 1885 году И. Бальмер, учитель физики средней школы в городе Базеле (Швейцария), тщательно проанализировал снимки, полученные Фраунгофером и его последователями, и заметил следующее. Если ввести некоторое (как его назвал Бальмер, основное) число k , то длины волн линий H α , H β , H γ , и H δ могут быть выражены таким образом:

\(~\begin{matrix} \lambda_{H_{\alpha}} = \dfrac 95 k \\ \lambda_{H_{\beta}} = \dfrac 43 k \\ \lambda_{H_{\gamma}} = \dfrac{25}{21} k \\ \lambda_{H_{\delta}} = \dfrac 98 k\end{matrix}\) .

Умножив на 4 числители и знаменатели в дробях \(~\dfrac 43\) и \(~\dfrac 98\), Бальмер получил удивительную закономерность: числители в выражениях длин волн всех линий можно представить как последовательность квадратов чисел -

\(~3^2, 4^2, 5^2, 6^2\) ,

а знаменатели - как последовательность разностей квадратов -

\(~3^2 - 2^2, 4^2 - 2^2, 5^2 - 2^2, 6^2 - 2^2\) .

Таким образом, Бальмеру удалось записать одну формулу для длин волн четырех линий:

\(~\lambda = k \dfrac{n^2}{n^2 - 2^2}\) .

где n = 3, 4, 5 и 6 соответственно для линий H α , H β , H γ , и H δ . Если λ измерять в ангстремах (1 А = 10 -10 м), то число k по Бальмеру оказывается равным 3645 А.

Вскоре были обнаружены другие линии в спектре поглощения водорода (сейчас известно около 30 линий только в видимой области спектра), и их длины волн тоже «укладывались» в формулу Бальмера. О том, с какой точностью это получается, судите по таблице, где приведены результаты наблюдения и вычисления длин волн (в ангстремах) первых семи линий, для которых число n изменяется от 3 до 9:

Эти цифры показывают, что в спектроскопии вычисления производятся с необычайной точностью. До появления спектроскопических расчетов считалось, что наибольшую точность имеют вычисления в астрономии. Однако оказалось, что точность вычислений в спектроскопии не только не уступает, но в ряде случаев w превосходит астрономическую точность.

Бальмер надеялся, что спектры других атомов, более сложных, чем водород, тоже можно будет описывать формулами, похожими на открытую им формулу. По его мнению, отыскание «основного числа» для атомов других элементов будет очень сложной задачей. К счастью для всей атомной физики, и особенно для спектроскопии, Бальмер ошибся. Величина k вошла в спектральные формулы излучения атомов всех химических элементов 1[правда, сами формулы отличаются от бальмеровской целым рядом поправочных членов).

Постоянная Ридберга. Полный спектр атома водорода

В 1890 году шведский физик-спектроскопист Ридберг записал формулу Бальмера в «перевернутом» виде», для величины \(~N = \dfrac{1}{\lambda}\). Она называется волновым числом.и показывает, какое число длин волн в вакууме укладывается на единичной длине. Волновое число легко связать с частотой света ν :

\(~\nu = \dfrac{c}{\lambda} = cN\) ,

где c - скорость света. В спектроскопии всегда имеют дело с волновыми числами, а не с частотами. Это связано с тем, что длины волн, а следовательно, и волновые числа, можно определять опытным путем с гораздо большей точностью, чем частоты. (Заметим, что иногда волновое число обозначают той же буквой ν , что и частоту колебаний. Правда, из контекста обычно бывает ясно, о чем именно идет речь, но порой это вносит ненужную путаницу.)

«Перевертывая» формулу Бальмера, получаем для волнового числа

\(~N = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{k} \dfrac{n^2 - 4}{n^2} = \dfrac{4}{k} \left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) .

Обозначим постоянную величину \(~\dfrac{4}{k}\) через R (первая буква в фамилии Ридберга). Тогда окончательно формулу Бальмера можно записать в том виде, в каком она обычно используется:

\(~N = R \left(\dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) , где n = 3, 4, 5, 6 ,…

Формула Бальмера показывает, что с увеличением числа n волновые числа «соседних» спектральных линий имеют все более близкие значения (разность между ними уменьшается) - происходит сближение спектральных линий. Все спектральные линии, волновые числа которых вычисляются по формуле Бальмера, образуют спектральную серию Бальмера. Наибольшее число спектральных линий серии Бальмера (37 линий) было обнаружено в спектре солнечной хромосферы и протуберанцев (облаках раскаленных газов, образующихся на Солнце и выбрасываемых из него). Постоянная Ридберга была с большой точностью измерена на линиях серии Бальмера. Она оказалась равной R = 109677,581 см -1 .

Удивительное совпадение результатов измерений длин волн линий спектра водорода в видимой области спектра с вычислениями по формуле Бальмера побудило исследователей изучить спектр водорода в других областях. Эти поиски увенчались успехом. Кроме серии Бальмера, в спектре атома водорода были обнаружены другие серии, причем все они описывались спектральными формулами, аналогичными формуле Бальмера.

Так, в далекой ультрафиолетовой части спектра - в области длин волн ~1200 А и менее - Лайман открыл серию линий, называемую теперь серией Лаймана:

\(~N = R \left(\dfrac{1}{1^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) , где n = 2, 3, 4, …

В инфракрасной части спектра обнаружилось три серии спектральных линий: в области длин волн от 10 000 до 20 000 А - серия Пашена, описываемая формулой

\(~N = R \left(\dfrac{1}{3^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) , где n = 4, 5, 6, …

в области длин волн, близких к 40 000 А,- серия Брэккета

\(~N = R \left(\dfrac{1}{4^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) , где n = 5, 6, …

наконец, в очень далекой инфракрасной области, вблизи 75 000 А - серия Пфунда

\(~N = R \left(\dfrac{1}{5^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) , где n = 6, 7, …

Таким образом, все спектральные линии, обнаруженные у атома водорода в разных частях спектра, можно охватить одной общей формулой - формулой Бальмера - Ридберга

\(~N = R \left(\dfrac{1}{m^2} - \dfrac{1}{n^2} \right)\) .

В этой формуле для каждой серии линий число m имеет постоянное значение от 1 до 5: m =1, 2, 3, 4, 5, а внутри данной серии число n принимает ряд возрастающих численных значений, начиная от m + 1.

Студент группы

1. Цель работы 2

2. Описание установки и методики эксперимента 2

3. Результаты работы и их анализ 3

4. Выводы 6

Ответы на контрольные вопросы 7

Список используемой литературы 10

Приложение А 11

1. Цель работы

Целью работы является изучение спектра излучения атомов водорода и экспериментальное определение постоянной Ридберга.

2. Описание установки и методики эксперимента

Для изучения спектра атома водорода используется спектроскоп на основе призменного монохроматора УМ-2. Схема экспериментальной установки приведена на Рисунок 2.1.

1 - лазер; 2 - щель; 3 - экран с миллиметровой шкалой

Рисунок 2.1 – Принципиальная схема наблюдения дифракции Фраунгофера с использованием в качестве лазера

Свет от источника 1 через входную щель 2 и объектив 3 параллельным пучком падает на спектральную призму с высокой 4. Призмой свет разлагается в спектр и через объектив 6 направляется в окуляр 8. При повороте призмы в центре поля зрения появляются различные участки спектра. Призму поворачивают при помощи барабана 5, на которой нанесена шкала в градусах. Вращением барабана спектральную линию подводят к стрелке указателя 7, расположенного в окуляре, и фиксируют отсчёт по шкале барабана.

Источником света в данной работе являются газоразрядная водородная трубка и ртутная лампа высокого давления ДРШ-250-3.

3. Результаты работы и их анализ

Таблица 3.1 – Данные градуировки спектроскопа по спектру ртути*

*Длины волн спектральных линий ртути, взятые из таблицы 5.1 на стр.8 руководства .

Рисунок 3.1 – Градуировочный график

Значения длин волн λ спектральных линий водорода определяются по градуировочному графику: на оси Y откладываются значения ϕ, а соответствующие им значения на оси X подбираются так, чтобы точка совпала с линией.

Таблица 3.2 – Экспериментальные данные спектра атома водорода

Таблица3.3 – Обратные значения длин волн спектральных линий водорода, главных квантовых чисел.

Для проверки справедливости формулы Бальмера строится график зависимости 1/л/(1/n 2).

Рисунок 3.2 – График линейной зависимости 1/л(1/n 2)

Из графика определяем постоянную Ридберга, как угловой коэффициент линейной зависимости 1/л/(1/) по формуле (3.1).

Абсолютное значение углового коэффициента K прямой является постоянной Ридберга R = |K| = 1,108E+07

Абсолютная погрешность найденной постоянной Ридберга s(R) = s(K) = 1,057E+05

Табличное значение постоянной Ридберга : 1,097E+07

Отличие найденного и табличного значений постоянной Ридберга |1 - R/ |Ч100% = 0,98 %

В соответствии с §8 на стр. 8 п. результат записывается с гарантией.

R = (1,108 ± 0,01) ;

Здесь e(R) – относительная погрешность, которая вычисляется по ф. (1.2) на стр. 2 п. .

Используя полученные из опыта значения длин волн построим фрагмент энергетического спектра атома водорода.

Переходы, наблюдаемые в опыте: 6s → 2p, 5s → 2p, 4s → 2p, 3s → 2p.

4. Выводы

В ходе лабораторной работы был изучен спектр излучения атомов

водорода. Был построен график линейной зависимости (1/л)/(1/), по которому удалось определить постоянную Ридберга:

R = (1,108 ± 0,01) ;

Ошибка определения постоянной Ридберга составила 0,9 %.

Полученные результаты соотносятся с теоретическими данным.

Ответы на контрольные вопросы

1. Объяснить принцип действия призменного спектроскопа.

Принцип действия призменного спектроскопа основан на явлении дисперсии света. Распад входного светового потока на разные спектральные составляющие.

2. В чем заключается градуировка спектроскопа?

Угол отклонения призмой лучей монохроматического света не пропорционален ни длине волны, ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источников света. В данной лабораторной работе эталонным источником света являлась ртутная лампа.

Градуировка заключалась в следующем:

Установить перед входной щелью спектроскопа на расстоянии 30-40 см ртутную лампу. Включить ртутной лампы тумблерами «СЕТЬ» и «ЛАМПА ДРШ». Зажечь ртутную лампу, нажимая несколько раз на кнопку «ПУСК», и дать разогреться лампе в течение 3-5 минут. Изменяя ширину входной щели и перемещая окуляр, добиться, чтобы спектральные линии, видимые через окуляр, были тонкие и резкие.

Измерить значения угла поворота барабана для различных линий спектра ртути, совмещая последовательно линии со стрелкой указателя в окуляре. Подводить линии к указателю следует только с одной стороны, чтобы уменьшить погрешность за счет люфта барабана.

3. Как задают состояние электрона в атоме водорода в квантовой механике?

Соответствующие энергиям En собственные функции

задают стационарные состояния электрона в атоме водорода и зависят от квантовых чисел n, l и m.

Орбитальное квантовое число l при определенном n может принимать значения l=0, 1, 2, …, n-1. Магнитное квантовое число при данном l принимает значения .

4. Какой смысл имеет квадрат модуля волновой функции?

В соответствии с интерпретацией волновой функции квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения электрона в различных точках пространства.

5. Записать стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.

Rnl(r) – радиальная часть волновой функции;

Ylm(и, ц) – угловая часть волновой функции;

n – главное квантовое число;

l – орбитальное квантовое число;

m – магнитное квантовое число.

6. Привести возможные состояния для электрона в атоме водорода с n = 3.

При n = 3 возможные состояния электрона в атоме водорода: s, p, d.

7. Что называют энергией ионизации атома водорода?

Состояние 1s атома называют основным. Ему соответствует наименьший энергетический уровень E1=-13,6 эВ, также называемый основным. Все другие состояния и энергетические уровни называются возбужденными. Величина |E1| является энергией ионизации атома водорода.

8. Доказать, что плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии равном боровскому радиусу является максимальной.

Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое от r до r+dr равна объему этого слоя , умноженному на . Плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра

достигает максимума при r=r0.

Величина r0, имеющая размерность длины, совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты интерпретируется как расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.

9. Какому правилу отбора подчиняется орбитальное квантовое число и почему?

Из закона сохранения момента импульса при испускании и поглощении света атомом для орбитального квантового числа l возникает правило отбора .

10. Указать типы переходов для серий Лаймана и Пашена.

Для серии Лаймана: np → 1s (n = 2, 3 ...).

Для серии Пашена: np → 3s, ns → 3p, nd → 3p, np → 3d, nf → 3d (n = 4, 5 ...)

11. Найти коротковолновую и длинноволновую границы (л1 и л∞) для серий Лаймана, Бальмера, Пашена.

Для серии Лаймана: m = 1, n = 2, 3, … ∞.

R = 1,097 ∙ 107 (м-1)

при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107) ∙ 109 = 91,2 (нм)

Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 3/4) ∙ 109 = 121,5 (нм)

Для серии Бальмера: m = 2, n = 3, 4 … ∞.

R = 1,097 ∙ 107 (м-1)

при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 1/4) ∙ 109 = 364,6 (нм)

Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 0,1389) ∙ 109 = 656,3 (нм)

Для серии Пашена: m = 3, n = 4, 5 … ∞.

R = 1,097 ∙ 107 (м-1)

при n = ∞. , л1 = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 1/9) ∙ 109 = 820,4 (нм)

Л∞ = 1/(1,097 ∙ 107 ∙ 0,04861) ∙ 109 = 1875,3 (нм)

Список используемой литературы

Приложение А

К файлу отчёта прикладывается регистрационный файл с результатами экспериментов phyLab7.reg.

1 В Excel параметры построенной по заданным точкам прямой можно получить с помощью функции ЛИНЕЙН(), в которой реализован метод наименьших квадратов (МНК). В пособии МНК описан на стр. 12–13 ф. (10.2)–(10.5).

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Целью настоящей работы является ознакомление со спектром водорода и натрия. В процессе её выполнения необходимо визуально наблюдать видимую часть спектра, измерить длины волн и по результатам этих измерений определить постоянную Ридберга.

Спектр излучения атома водорода состоит из отдельных резких линий и выделяется своей простотой. Ещё Бальмер (1885 г.), Ридберг (1890 г.) и Ритц (1908 г.) установили эмпирически, что спектральные линии водорода могут быть сгруппированы по сериям, причем длины волн выражаются с высокой точностью формулой:

где - волновое число; l -длина волны, в вакууме; R = 109677,581см -1 - постоянная Ридберга; n = 1, 2, 3, ...- натуральное число, постоянное для линий данной серии, которое может рассматриваться как номер серии; m = n + 1, n + 2, n + 3, ... - натуральное число, "нумерующее" линии данной серии.

Серия с n = 1 (серия Лаймана) целиком лежит в ультрафиолетовой части спектра. Серия, соответствующая n = 2 (серия Бальмера) имеет первые четыре линии в видимой области. Серии с n = 3 (Пашена), n = 4 (Брекетта), n = 5 (Пфунда) и так далее находятся в инфракрасном диапазоне.

Спектроскопия высокой разрешающей силы показывает, что сериальные линии (I) обладают тонкой структурой; каждая линия состоит из нескольких близко расположенных составляющих на расстоянии сотых долей ангстрема для видимой части спектра.

Теория Бора. Многочисленные попытки объяснить линейчатую структуру атомных спектров, в частности формулу (1), с точки зрения классической физики оказались безуспешными. В 1911 г. опыты Резерфорда установили ядерную модель атома, которая с точки зрения классической механики должна рассматриваться как совокупность электронов, движущихся вокруг ядра. По законам классической электродинамики такая модель атома неустойчива, так как вследствие ускорения, необходимого для криволинейного движения по орбитам, электроны должны излучать энергию в виде электромагнитных волн и вследствие этого быстро упасть на ядро. В 1913 г. Бор, отказавшись от классических представлений, построил теорию, совместимую с ядерной моделью атома и объяснявшую основные закономерности в спектре атома водорода и сходных с ним атомных систем.

Теория Бора основана на следующих допущениях-постулатах:

1. Атомная система имеет дискретные устойчивые стационарные состояния с определенной энергией, которые можно рассматривать с помощью обычной механики, но в которых система не излучает, даже если она должна излучать по классической электродинамике.

2. Излучение происходит при переходе из одного стационарного состояния в другое в виде кванта энергии hv монохроматического света (здесь v – частота излучения; h = 6,62 10 -27 эрг.сек - постоянная Планка).

3. В специальном случае движения по круговым орбитам стационарными являются только те орбиты, на которых момент количества движения P электрона кратен величине h/2p :

где n = 1, 2, 3,...; m e - масса электрона, r n - радиус n -й орбиты; V n - скорость электрона на n -й орбите.

В соответствии с законом сохранения энергии и первыми двумя постулатами Бора энергия кванта излучения при переходе между стационарными состояниями с энергиями E" и E"" равна

hv= E" - E"" . (3)

Если сравнивать формулы (1) и (3), то легко увидеть, что энергия стационарных состояний атома водорода принимает, с точностью до знака дискретный квантовый ряд значений:

где c - скорость света.

Рассмотрим атом, состоящий из ядра с зарядом Z e и одного электрона. Для водорода Z = 1, для однократно ионизированного гелия (He +) Z = 2, для дважды ионизированного лития (Li ++) Z = 3 и т.д. Сила кулоновского взаимодействия между ядром и электроном будет равна:

где r - расстояние между ядром и электроном. Под влиянием этой силы электрон движется вокруг ядра по эллиптической орбите, в частности, по окружности. Если отсчитывать потенциальную энергию U от её значения для бесконечно удаленного электрона, то

При движении по окружности центростремительная сила равна

откуда кинетическая энергия

Полная энергия

Из соотношений (2) и (7) находим для радиуса круговой стационарной орбиты

Равенство (10) показывает, что стационарные орбиты представляют собой окружности, радиусы которых растут пропорционально квадрату номера орбиты.

Подставляя (10) в (9), получаем энергию в стационарных состояниях (рис. 2):

Выражение (11) совпадает с (4), если положить

Величина (12) несколько отличается от значения постоянной Ридберга, найденной из спектроскопических измерений. Дело в том, что при выводе формулы (11) мы предполагали ядро неподвижным, тогда как в силу конечности своей массы оно вместе с электроном движется вокруг их общего центра инерции. Чтобы учесть это обстоятельство, достаточно вместо массы электрона ввести приведенную массу электрона и ядра:

где M - масса ядра.

Заменяя в (12) m e на m , получаем в случае атома водорода (M = M p ):

что прекрасно согласуется с экспериментом. Здесь R соответствует бесконечно большой массе ядра и совпадает с (12).

Выражение (14) показывает, что постоянная Ридберга для изотопов водорода (дейтерия с М д = 2М p и трития М Т = 3М p ), вследствие различия в приведённых массах, отличается от постоянной Ридберга R p для легкого водорода. Это хорошо согласуется с наблюдаемым сдвигом линий в спектрах дейтерия и трития по сравнению со спектром водорода (изотопический сдвиг).

Для описания более тонких эффектов, например расщепления спектральных линий, излучаемых атомами во внешнем поле, недостаточно рассмотрения только круговых орбит. Более общие условия стационарности, чем (2), пригодные для эллиптических орбит, были даны Зоммерфельдом в следующем виде: если механическая система с i -ми степенями свободы описывается обобщенными координатами q i и соответствующими обобщенными импульсами p i = ¶T/¶q i , то стационарны только те состояния системы, для которых

где n i - целые квантовые числа, а интегрирование распространяется на всю область изменения q i . В случае эллипса, описываемого полярными координатами r и j , имеем

где n j и n r - азимутальное и радиальное квантовые числа. В силу постоянства момента количества движения p j = const = p условие (16) дает, как и в случае круговой орбиты,

Соответствующий расчет показывает, что энергия электрона зависит от суммы n j +n r = n по формуле (11). n называют главным квантовым числом. Так как n j = 1, 2, ...n , при заданном n , имеется n эллиптических орбит с одинаковой энергией (11) и с различной величиной момента количества движения (18). Если рассмотреть третью степень свободы, то условие квантования (15) для неё приводит к тому, что каждая орбита может быть сориентирована в пространстве не произвольным образом, а лишь так, что проекция момента количества движения на любое фиксированное направление OZ может принимать 2n + 1 значений, кратных h/(2p) :

m = - n j , - n j + 1 , . . . . . n j - 1 , n j . (20)

Теория Бора – Зоммерфельда с полной отчетливостью показала неприменимость классической физики и первенствующее значение квантовых законов для микроскопических систем. Она объяснила основные закономерности в спектрах водородоподобных ионов, щелочных металлов, рентгеновских спектрах. В её рамках впервые получили объяснения закономерности периодической системы элементов. С другой стороны, теория не дала последовательного объяснения интенсивности и поляризации спектральных линий. Никак не удались попытки построить теорию простейшей двухэлектронной системы - атома гелия. Недостатки теории Бора являются следствием её внутренней противоречивости. Действительно, с одной стороны, она привлекает чуждые классической физике идеи квантования, а с другой - пользуется для описания стационарных состояний классической механикой. Наиболее правильную картину внутриатомных физических явлений дала последовательная квантовая теория - квантовая механика, по отношению к которой теория Бора явилась важнейшим переходным этапом.

Квантовомеханическое описание стационарных состояний. Основное отличие квантовой механики от теории Бора состоит в отказе от представления о движении электрона по классически определенной орбите. Применительно к микрочастице можно говорить не о её месте на траектории, а лишь о вероятности dW найти эту частицу в объеме dV , равной

dW = | Y (x, y, z)| 2 dx dy dz , (21)

где Y(x, y, z) - волновая функция, подчиняющаяся уравнению движения квантовой механики. В простейшем случае уравнение, полученное Шредингером для стационарных состояний, имеет вид

где E и U - полная и потенциальная энергии частицы с массой m е .

Вероятность пребывания электрона в единице объема Y|(x, y, z)| 2 , рассчитанная для каждой точки, создает представление об электронном облаке как о некотором статистическом распределении электронного заряда в пространстве. Каждое стационарное состояние характеризуется своим распределением электронной плотности, и переход из одного стационарного состояния в другое сопровождается изменением размеров и конфигурации электронного облака.

Плотность электронного облака является функцией расстояния от ядра r . Интересно отметить для сравнения с теорией Бора, что максимум радиальной плотности основного состояния атома водорода соответствует точке r , определяемой по формуле (10), т. е. наибольшее вероятное расстояние электрона от ядра в точности равно радиусу первой орбиты в теории Бора (рис. 1).

С увеличением размера электронного облака, как правило, увеличивается его энергия E n , характеризуемая главным квантовым числом n. Формой электронного облака определяется "орбитальный" момент количества движения р l , характеризуемый квантовым числом l .

Рис. 1. Распределение вероятностей для электрона в состояниях:

1 - n = 1, l = 0 и 2 - n = 2, l = 0

Ориентация облака определяет проекцию момента р lz в пространстве, характеризуемую квантовым числом m l . Кроме орбитального момента, электрон имеет собственный момент количества движения - спин р s , который может иметь в пространстве две ориентации, что характеризуется двумя значениями квантового числа m s = - 1/2 , + 1/2. Можно представить себе, что спиновый момент обусловлен вращением электрона вокруг своей оси (подобно тому, как вращается вокруг своей оси Земля, двигаясь по орбите вокруг Солнца). Эта простая картина удобна как наглядное геометрическое представление возможного происхождения спина. Строгое определение спина может дать только квантовая теория.

Согласно квантовой механике моменты количества движения и их проекции определяются следующими соотношениями:

Заметим, что правила квантования (18), (19) Бора – Зоммерфельда являются приближением к (23), (24) при больших l .

Таким образом, чтобы однозначно определить состояние электрона в атоме, можно задать четыре физические величины E n , p l , p lz , p sl , или, что то же самое, четверку квантовых чисел m, l, m l , m s . Значения этих квантовых чисел ограничены формулами (23) - (26).

n = 1, 2, 3, 4, ... ; (27)

l = 1, 2, 3, 4, ..., n - 1 ; m l = - l, - l + 1, ..., 0, ..., l - 1, l ;

m s = -1/2 , +1/2 .

Орбитальное число l = 0, 1, 2, 3, 4 и т.д. принято обозначать буквами s, p, d, f, q и далее по алфавиту.

Путем изменения четверки квантовых чисел можно получить всевозможные состояния атома. Последовательность заполнения этих электронных состояний определяется двумя принципами: принципом Паули и принципом наименьшей энергии.

Согласно принципу Паули, атом не может иметь двух электронов, обладающих одним и тем же набором квантовых чи­сел. По принципу наименьшей энергии заполнение электронных состояний происходит от низких значений энергии к высшим в последовательности

1s < 2s < 2p < 3s < 3p . (28)

В соответствии с принципом Паули и ограничениями (27) в состояниях с заданными n и l не может находиться более чем 2(2l + 1) электронов. Поэтому в s -состоянии (l = 0) может находиться не более двух электронов, в p -состоянии (l = 1) – не более шести электронов и так далее. В состоянии с данным квантовым главным числом n может находиться не более электронов.

Совокупность состояний с заданным n называется электронной оболочкой, совокупность состояний с заданной парой чисел n и l называется подоболочкой. Распределение электронов в атоме по подоболочкам называется электронной конфигурацией. Например, электронные конфигурации основных состояний атомов водорода, лития, гелия, натрия и т.д. имеют вид:

1s 1 (H)

1s 2 (He)

1s 2 2s 1 (Li)

1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 (Na) ,

где верхние индексы указывают число электронов в соответствующих подоболочках, а цифры, стоящие в ряду, - значение главного квантового числа n . Поясним правило написания электронных конфигураций на примере атома натрия Z = 11. Зная максимальное число электронов в состояниях s и p (2 и 6 соответственно), разместим 11 электронов, следуя вдоль неравенства (28) слева направо, тогда получаем 1s 2 2s 2 2p 6 3s 1 . Аналогичным образом получается электронная конфигурация других атомов.

Рис. 2. Диаграмма энергетических уровней и излучательных переходов атома водорода

Длины волн в спектре излучения ртути

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить блок питания монохроматора УМ-2 и ртутную лампу.

2. Пользуясь таблицей, провести градуировку монохроматора (построить график).

3. Включить газоразрядную трубку с натрием и определить длины волн в видимой части спектра, пользуясь графиком.

4. Определить постоянную Ридберга для каждой линии и найти среднее значение.

5. Определить потенциал ионизации атома натрия.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Расскажите о теории строения атома, созданной Бором.

2. Чем отличается теория Бора от квантовомеханической теории?

3. Какие вы знаете квантовые числа? В чем состоит принцип Паули?

4. Напишите уравнение Шредингера для водородоподобного атома.

5. Как определяется спектроскопический заряд электрона?

6. Что представляет собой обобщенная формула Бальмера?

7. Поясните диаграммы энергетических уровней и излучательных переходов атома водорода и натрия.

Литература

1. Жеребцов И.П. Основы электроники. Ленинград, 1990.

2. Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. –М., 1988.

3. Мирдель К. Электрофизика. – М. 1972

4. Оптика и атомная физика: Лабораторный практикум по физике / Под ред. Р.И. Солоухина. 1976.

5. Пестров Э.Г., Лапшин Г.М. Квантовая электроника. –М. 1988.

6. Практикум по спектроскопии / Под ред. Л.В. Левшите, –М, 1976.

7. Савельев И.В. Курс общей физики. –М., Т.-2, 3., 1971.

8. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т-3, – М., 1990.

9. Трофимова Т.И. Курс физики. –М., Наука, 1990.

10. ФаноУ., Фано Л. Физика атомов и молекул. – М., 1980.

11. Шефтель И.Т. Терморезисторы. – М., 1972

12. Шпольский Э.В. Атомная физика. – М. 1990

13. Яворский Б.М., Селезнев Ю.А. Справочное руководство по физике. –М., 1989.

Учебное издание

Алексеев Вадим Петрович

Папорков Владимир Аркадьевич

Рыбникова Елена Владимировна

Лабораторный практикум

Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА

г.Томск 2012

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью работы является изучение спектра излучения атомов водорода и экспериментальное определение постоянной Ридберга.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА

Для изучения спектра атома водорода используется спектроскоп на основе призменного монохроматора УМ-2. Схема экспериментальной установки приведена на рис.2.1.

1 – источник света, 2 – входная щель спектроскопа, 3 – входной объектив, 4 – сложная спектральная призма, 5 – микрометрический винт с отсчетным барабаном, 6 – входной объектив, 7 – указатель, 8 - окуляр

Рис.2.1 Схема экспериментальной установки

Свет от источника 1 через входную щель 2 и объектив 3 параллельным пучком падает на спектральную призму с высокой дисперсией 4. Призмой свет разлагается в спектр и через объектив 6 направляется в окуляр 8. При повороте призмы в центре поля зрения появляются различные участки спектра. Призму поворачивают при помощи барабана 5, на которой нанесена шкала в градусах. Вращением барабана спектральную линию подводят к стрелке указателя 7, расположенного в окуляре, и фиксируют отсчет по шкале барабана.

Источником света в данной работе являются газоразрядная водородная трубка и ртутная лампа высокого давления ДРШ-250-3.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Постоянная Ридберга (угловой коэффициент), расчёт по графику:

, где (3.1)

λ – длина волны спектральных линий;

n – главное квантовое число.

Вспомогательные формулы для расчёта абсолютной погрешности постоянной Ридберга:

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Угловой коэффициент прямой k= n*S 3 -S 1 S 2 /D (3.9)

Абсолютная погрешность постоянной Ридберга, как абсолютная погрешность углового коэффициента прямой k:

, где (3.10)

n – количество точек.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Таблица 4.1 – Данные градуировки спектроскопа по спектру ртути

Построим градуировочный график φ(λ).

Значения длин волн λ спектральных линий водорода определяются по градуировочному графику: на оси Y откладываются значения φ, а соответствующие им значения на оси X подбираются так, чтобы точка совпала с линией. Используя график, определяем значения длин волн линий спектра водорода. Данные заносим в таблицу 4.2.

Таблица 4.2 – Экспериментальные данные спектра атома водорода

Проверим справедливость формулы Бальмера. Для этого нужно построить график зависимости 1/λ(1/n 2). Рассчитываем необходимые данные, заносим в таблицу 4.3.

Таблица 4.3 – Данные для построения зависимости 1/λ(1/n 2)

Построим график линейной зависимости 1/λ(1/n 2)

Из графика определяем постоянную Ридберга, как угловой коэффициент линейной зависимости 1/λ(1/n 2) по формуле (3.1).

R = (2,445*10 -6 – 1,517*10 -6)/(0,111– 0,028) = 1,108*10 7 (м -1)

Оцениваем абсолютную погрешность R по формулам 3.2 – 3.10.

k= n*S 3 -S 1 S 2 /D=4*0.457-0.241*8.323/0.1623=1,108E+07 м  1

Ошибка определения постоянной Ридберга составила0,98%.

Используя полученные из опыта значения длин волн построим фрагмент энергетического спектра атома водорода.

Рис. 4.3 Фрагмент энергетического спектра атома водорода

Переходы, наблюдаемые в опыте: 6s → 2p, 5s → 2p, 4s → 2p, 3s → 2p.

В ходе лабораторной работы был изучен спектр излучения атомов водорода. Был построен график линейной зависимости 1/λ(1/n 2), по которому удалось определить постоянную Ридберга (R). Погрешность экспериментального определения R составила 1,057E+05 м -1 . Ошибка определения постоянной Ридберга составила 0,98%.

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №7 «ИЗУЧЕНИЕ спектра атома водорода»

Объяснить принцип действия призменного спектроскопа.

Принцип действия призменного спектроскопа основан на явлении дисперсии света.

В чем заключается градуировка спектроскопа?

Угол отклонения призмой лучей монохроматического света не пропорционален ни длине волны, ни его частоте. Поэтому дисперсионные спектральные приборы необходимо предварительно градуировать с помощью эталонных источников света. В данной лабораторной работе эталонным источником света являлась ртутная лампа.

Градуировка заключалась в следующем:

Установить перед входной щелью спектроскопа на расстоянии 30-40 см ртутную лампу. Включить блок питания ртутной лампы тумблерами «СЕТЬ» и «ЛАМПА ДРШ». Зажечь ртутную лампу, нажимая несколько раз на кнопку «ПУСК», и дать разогреться лампе в течение 3-5 минут. Изменяя ширину входной щели и перемещая окуляр, добиться, чтобы спектральные линии, видимые через окуляр, были тонкие и резкие.

Измерить значения угла поворота барабана для различных линий спектра ртути, совмещая последовательно линии со стрелкой указателя в окуляре. Подводить линии к указателю следует только с одной стороны, чтобы уменьшить погрешность за счет люфта барабана.

Как задают состояние электрона в атоме водорода в квантовой механике?

Соответствующие энергиям E n собственные функции

задают стационарные состояния электрона в атоме водорода и зависят от квантовых чисел n , l и m .

Орбитальное квантовое число l при определенном n может принимать значения l =0, 1, 2, …, n -1. Магнитное квантовое число при данном l принимает значения
.

Какой смысл имеет квадрат модуля волновой функции?

В соответствии с интерпретацией волновой функции квадрат модуля волновой функции
дает плотность вероятности нахождения электрона в различных точках пространства.

Записать стационарное уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода.

, где

R nl (r ) – радиальная часть волновой функции;

Y lm (θ ,φ) – угловая часть волновой функции;

n – главное квантовое число;

l – орбитальное квантовое число;

m – магнитное квантовое число.

Привести возможные состояния для электрона в атоме водорода с n = 3.

При n = 3 возможные состояния электрона в атоме водорода: s, p, d.

Что называют энергией ионизации атома водорода?

Состояние 1s атома называют основным. Ему соответствует наименьший энергетический уровень E 1 =-13,6 эВ, также называемый основным. Все другие состояния и энергетические уровни называются возбужденными. Величина |E 1 | является энергией ионизации атома водорода.

Доказать, что плотность вероятности нахождения электрона на расстоянии равном боровскому радиусу является максимальной.

Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое от r до r + dr равна объему этого слоя
, умноженному на
. Плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра

достигает максимума при r = r 0 .

Величина r 0 , имеющая размерность длины, совпадает с радиусом первой боровской орбиты. Следовательно, в квантовой механике радиус первой боровской орбиты интерпретируется как расстояние от ядра, на котором вероятность обнаружения электрона максимальна.

Какому правилу отбора подчиняется орбитальное квантовое число и почему?

Из закона сохранения момента импульса при испускании и поглощении света атомом для орбитального квантового числа l возникает правило отбора
.

Указать типы переходов для серий Лаймана и Пашена .

Для серии Лаймана: np → 1s (n = 2, 3 ...).

Для серии Пашена: np → 3s, ns → 3p, nd → 3p, np → 3d, nf → 3d (n = 4, 5 ...)

Найти коротковолновую и длинноволновую границы (λ 1 и λ ∞ ) для серий Лаймана, Бальмера, Пашена .

Для серии Лаймана: m = 1, n = 2, 3, … ∞.

, R = 1,097 ∙ 10 7 (м -1)

при n = ∞.
, λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7) ∙ 10 9 = 91,2 (нм)

, λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7 ∙ 3/4) ∙ 10 9 = 121,5 (нм)

Для серии Бальмера: m = 2, n = 3, 4 … ∞.

, R = 1,097 ∙ 10 7 (м -1)

при n = ∞.
, λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7 ∙ 1/4) ∙ 10 9 = 364,6 (нм)

, λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7 ∙ 0,1389) ∙ 10 9 = 656,3 (нм)

Для серии Пашена: m = 3, n = 4, 5 … ∞.

, R = 1,097 ∙ 10 7 (м -1)

при n = ∞.
, λ1 = 1/(1,097 ∙ 10 7 ∙ 1/9) ∙ 10 9 = 820,4 (нм)

, λ∞ = 1/(1,097 ∙ 10 7 ∙ 0,04861) ∙ 10 9 = 1875,3 (нм)

7. ПРИЛОЖЕНИЕ

К работе прилагается регистрационный файл (*.REG).

Атомный спектр испускания водорода представляет собой совокупность лини среди которых можно различить три группы линий, или серии (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Атомный спектр испускания водорода.

Серия линий в ультрафиолетовой области спектра называется серией Лаймана. Ее линии подчиняются уравнению

Бор связал значения чисел и в этих уравнениях с «квантовыми числами» (порядко-. выми номерами) энергетических уровней электрона в атоме водорода (рис. 1.14). Когда этот электрон находится в своем основном состоянии, его квантовое число и = 1. Каждая линия серии Лаймана соответствует возвращению возбужденного электрона с одного из высших энергетических уровней в основное состояние. Серия Бальмера соответствует возвращению электронов с различных высокорасположенных энергетических уровней в первое возбужденное состояние (на уровень с квантовым числом и = 2). Серия Пашена соответствует возвращению электронов на уровень с квантовым числом и = 3 (во второе возбужденное состояние).

Обратим внимание на то, что линии каждой серии по мере уменьшения длины волны постепенно приближаются к некоторому пределу (см. рис. 1.13 и 1.14). Длина волны такого предела сходимости для каждой серии определяется соответствующей пунктирной линией на рисунках. По мере увеличения квантового числа энергетические уровни электрона в атоме водорода все больше сгущаются, приближаясь к некоторому пределу. Пределы сходимости спектральных серий соответствуют переходам электронов, находящихся на этих самых высоких энергетических уровнях.

Но что произойдет, если электрон получит еще большую энергию? В этом случае электрон сможет отделиться от атома. В результате атом станет ионизованным, превратится в положительно заряженный ион. Энергия, необходимая для такого возбуждения электрона, чтобы он смог отделиться от атома, называется энергией ионизации. Значения энергий ионизации атомов позволяют получить важные сведения об их электронном строении.